lunes, 7 de septiembre de 2009

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y PUNTO MEDIO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)



PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Las coordenadas del punto medio M de un segmento son la semisuma de las coordenadas del los extremos del segmento, A y B:

A = (x1,y1); B = (x2,y2)
M = (x,y), donde:
x = (x1 + x2) / 2;
y = (y1 + y2) / 2;

POR TANTO

PM ((x1 + x2)/2 , (y1 + y2) / 2 )

EJERCICIOS (SERIE)

1. Halla las coordenadas del punto medio del segmento determinado por los puntos P(6,-1) y Q(4,7);

2. Calcula las coordenadas del punto B de un segmento AB sabiendo que las coordenadas del extremo son A(2, 1) y las del punto medio M(4, 2,5)

3.- Señala, en cada caso, la distancia entre los dos dados:
a) A(2,6); B(7,18) d) G(7,8); H(-1,3)
b) C(0,3); D(4,6) e) I(-9.-1); J(-3,2)
c) E(-2,9); F(6,-6) f) L (1/2 , 5); M (1/5, 4)

4.- Extiende la formula para calcular la distancia entre los siguientes pares de puntos en el espacio:
a) A(3,1,5); B(4,3,2) b) C(2,1,7); D(-1,2,3) c) E(-5,2,-3); f(4,-1,1)

Desde el ejercicio 5 en adelante, es necesario hacer el dibujo correspondiente a cada situación, esto permite ordenar los datos entregados por cada problema y visualiza la estructura de trabajo a seguir para resolver dicha situación.

5.- Calcula el perímetro de cada uno de los polígonos determinados por las coordenadas de sus vértices:
a) Un triángulo ABC con A(-1,4); B(-3,1) y C(3,1)
b) Un cuadrilátero ABCD con A(-6,2); B(-4,7); C(1,1); D(-1,-1)
c) Un pentágono ABCDE con A(-5,-2); B(1,-2); C(4,2); D(4,9); E(-5,9)

6.- Las coordenadas de 3 de los vértices de un rombo ABCD son A(-2,3); B(-5,1); C(-2,-1). ¿Cuáles son las coordenadas del vértice D?

7.- Si la distancia entre A y B es 5 y las coordenadas de A son (3,4), ¿cuáles son las posibles coordenadas de B? indica solo 2.

8.- Tres vértices de un rectángulo son los puntos A(2,-1); B(7,-1) y C(7,3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo.

9.- Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1,-2), (4,-2) y (4,2). Determinar las longitudes de los catetos y después calcular el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa.

10.- Encuentra las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos:
a) si A(9,6), B(-3,4) b) si M(-7,5) y N(-4,6)
c) si P(-5,8) y Q(-3,-6) d) si y
11.- Considera el triángulo ABC cuyos vértices son A(-10,1); B(-4,9) y C(9,1)
A) Calcula el perímetro

12.- Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4,2) y (1,1). Si uno de los vértices es (3,-2), hallar las coordenadas de los otros dos vértices.

13.- Los vértices de un rectángulo ABCD, son: A(4, 5) ; B(9, 5) ; C(9,12) y D(4, 12). Calcula:
i. Su perímetro.
ii. Su área.
iii. La medida de cada diagonal.
iv. Las coordenadas del punto de intersección de sus diagonales.

14.- Considera un triangulo ABC cuyos vértices son:A(-4,-6); B(2,4); C(-2,2). Calcula:
i. Su perímetro.
ii. Las coordenadas del punto medio de sus lados.

15.- Comprueba que los puntos A(-4, -1) ; B(2, 2) y C(8, 5) son colineales. (que están en línea recta)

16.- Uno de los puntos extremos de un segmento es A(6, 2) y su punto medio es M(14, 16). Determina las coordenadas del otro extremo.

17.- Considera el triángulo ABC cuyos vértices son: A(1,-2) ; B(4, -2) y C(4, 2). Determina:
i. Que tipo de triángulo es.
ii. Su perímetro.
iii. Su Área.
iv. Las coordenadas del punto medio de la hipotenusa y la medida de cada uno de los segmentos determinados en ella.
v. La distancia entre el punto medio y el vértice del Angulo recto.

EL PLANO CARTESIANO

EL PLANO CARTESIANO.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.


El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘X’ y uno de las ‘Y’, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad .

Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe:

Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente; el policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia.

La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.

Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:


Para el problema planteado, el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.

EJERCICIOS (SERIE)

1.- Indica los cuadrantes en que se encuentran las coordenadas, (1 , 2), (2 , 1), (-3 , 4) , (4 , -3) , (-3 , -2)

2.- Dibuja en gráfico cartesiano y ubica los siguientes puntos:
A(-2,5)
B(-8,-4)
C(-6,4)
D(4,5)
E(0,-1)
F(2,6)
G(5,-3)
H(0,6)
I(-3,0)
J(4,9)
K(3,3)
L(-3,-3)
M(-3,3)
N(3,-3)

REGLAMENTO DE CLASE

REGLAMENTO DE CLASE





FORMATO F2-A

FORMATO F2-A