lunes, 7 de septiembre de 2009

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y PUNTO MEDIO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)



PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Las coordenadas del punto medio M de un segmento son la semisuma de las coordenadas del los extremos del segmento, A y B:

A = (x1,y1); B = (x2,y2)
M = (x,y), donde:
x = (x1 + x2) / 2;
y = (y1 + y2) / 2;

POR TANTO

PM ((x1 + x2)/2 , (y1 + y2) / 2 )

EJERCICIOS (SERIE)

1. Halla las coordenadas del punto medio del segmento determinado por los puntos P(6,-1) y Q(4,7);

2. Calcula las coordenadas del punto B de un segmento AB sabiendo que las coordenadas del extremo son A(2, 1) y las del punto medio M(4, 2,5)

3.- Señala, en cada caso, la distancia entre los dos dados:
a) A(2,6); B(7,18) d) G(7,8); H(-1,3)
b) C(0,3); D(4,6) e) I(-9.-1); J(-3,2)
c) E(-2,9); F(6,-6) f) L (1/2 , 5); M (1/5, 4)

4.- Extiende la formula para calcular la distancia entre los siguientes pares de puntos en el espacio:
a) A(3,1,5); B(4,3,2) b) C(2,1,7); D(-1,2,3) c) E(-5,2,-3); f(4,-1,1)

Desde el ejercicio 5 en adelante, es necesario hacer el dibujo correspondiente a cada situación, esto permite ordenar los datos entregados por cada problema y visualiza la estructura de trabajo a seguir para resolver dicha situación.

5.- Calcula el perímetro de cada uno de los polígonos determinados por las coordenadas de sus vértices:
a) Un triángulo ABC con A(-1,4); B(-3,1) y C(3,1)
b) Un cuadrilátero ABCD con A(-6,2); B(-4,7); C(1,1); D(-1,-1)
c) Un pentágono ABCDE con A(-5,-2); B(1,-2); C(4,2); D(4,9); E(-5,9)

6.- Las coordenadas de 3 de los vértices de un rombo ABCD son A(-2,3); B(-5,1); C(-2,-1). ¿Cuáles son las coordenadas del vértice D?

7.- Si la distancia entre A y B es 5 y las coordenadas de A son (3,4), ¿cuáles son las posibles coordenadas de B? indica solo 2.

8.- Tres vértices de un rectángulo son los puntos A(2,-1); B(7,-1) y C(7,3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo.

9.- Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1,-2), (4,-2) y (4,2). Determinar las longitudes de los catetos y después calcular el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa.

10.- Encuentra las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos:
a) si A(9,6), B(-3,4) b) si M(-7,5) y N(-4,6)
c) si P(-5,8) y Q(-3,-6) d) si y
11.- Considera el triángulo ABC cuyos vértices son A(-10,1); B(-4,9) y C(9,1)
A) Calcula el perímetro

12.- Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4,2) y (1,1). Si uno de los vértices es (3,-2), hallar las coordenadas de los otros dos vértices.

13.- Los vértices de un rectángulo ABCD, son: A(4, 5) ; B(9, 5) ; C(9,12) y D(4, 12). Calcula:
i. Su perímetro.
ii. Su área.
iii. La medida de cada diagonal.
iv. Las coordenadas del punto de intersección de sus diagonales.

14.- Considera un triangulo ABC cuyos vértices son:A(-4,-6); B(2,4); C(-2,2). Calcula:
i. Su perímetro.
ii. Las coordenadas del punto medio de sus lados.

15.- Comprueba que los puntos A(-4, -1) ; B(2, 2) y C(8, 5) son colineales. (que están en línea recta)

16.- Uno de los puntos extremos de un segmento es A(6, 2) y su punto medio es M(14, 16). Determina las coordenadas del otro extremo.

17.- Considera el triángulo ABC cuyos vértices son: A(1,-2) ; B(4, -2) y C(4, 2). Determina:
i. Que tipo de triángulo es.
ii. Su perímetro.
iii. Su Área.
iv. Las coordenadas del punto medio de la hipotenusa y la medida de cada uno de los segmentos determinados en ella.
v. La distancia entre el punto medio y el vértice del Angulo recto.

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